梁挠度计算的实用方法

时间日期：2002-7-3 已被阅读次：[11509]

佛山市鸿业建筑设计室　宋靖勤
佛山市福银预应力技术发展公司　康仲录

　　随着建筑结构形式的多样化和用户对建筑的要求的提高，在设计过程中常碰到下列问题：由于建筑净空对梁高的限制，梁的高度不满足常用计算手册建议的不用验算挠度的高跨比；采用梁式转换结构；结构的跨度或荷载增大需要采用预应力来提高梁的刚度等，这时必须进行挠度验算。
　　1　梁抗弯刚度的计算
　　1.1　截面刚度BL
　　我们知道，计算挠度需要的长期刚度BL是在短期刚度BS的基础上得出的：
　　BL=BS＊MS/[ML(θ－1)＋MS] 　　　(1)
　　因此，计算刚度大部分的工作量在求构件的短期刚度上。
　　根据文献[1]对于普通钢筋混凝土梁：
　　BS=ESASh02/[1.15Ψ＊＋0.2＋6＊αE＊p/(1＋3.5)γf′]　　　　(2)
　　对于预应力混凝土梁(当0.4　　BS=EC＊IO/{1.2＋(1－Mcr/Ms)＊[(1.2＋0.25/αE＊p)]＊(1＋0.45γf)＋2]}　　　　 (3)
　　式中：Mcr=(σpc＋ftk)＊Wo为预应力混凝土受弯构件正截面的开裂弯矩值，显然梁的每一个截面都对应有一个长期刚度BL，因此把BL称为梁的截面刚度。
　　1.2　构件刚度B
　　根据文献[1]，在等截面构件中，可假定各同号弯矩区段内的刚度相等，并取用该区段内最大弯矩处的刚度，即所谓的最小刚度原则。简支梁跨中最大弯矩处的截面刚度BL就是构件的刚度B；对于单、多跨框架梁或连续梁等超静定结构，梁跨内既存在正弯矩，也存在负弯矩，按最小刚度原则，这类梁就成了分段等刚度的变刚度梁，虽然可解但计算工作量较大。为了简化计算，我们用一根等刚度梁近似代替变刚度梁，这根等刚度梁的刚度就称为构件刚度B。显然构件刚度与跨中、支座截面刚度有关，还与反弯点位置有关，文献[4][5]给出了一个支座截面刚度点30％、跨中截面刚度占70％的简单式子，对两端接近固定承受均布荷载的梁是较准确的，对其它支承及荷载形式的梁，有一定的差，但可满足一般的工程设计要求，也是规范所允许的，如《混凝土结构设计规范》(GB50010－2001)送审稿中指出：“对连续梁的跨中挠度，当为等截面、且计算跨度内的支座截面弯曲刚度不大于跨中截面弯曲刚度的两倍或不小于跨中截面弯曲刚度的二分之一时，也可按跨中最大弯矩截面弯曲刚度计算。”
　　综上所述，对于框架梁或连续梁，构件刚度B可按下式计算：
　　B=0.7BLM＋0.3(BLS，L＋BLS，r)/2　　　(5)
　　式中：BLM、BLS，L、BLS，r——分别为大梁跨中及左、右支座截面的刚度。对于一端简支、一端固定的梁或连续梁的边跨，构件刚度B可按下式计算：
　　B =0.85BLM＋0.15BLS　　　 (6)
　　BLS和BLM按照式(1)计算。
　　2　外荷载产生的挠度的计算
　　梁的挠度本应指梁跨内最大挠度，但在数个荷载作用下，求解最大挠度并不是一件容易的事，幸好材料力学知识告诉我们，即使荷载偏置的情况下，跨中挠度与最大挠度也是很接近的，因此工程实用上，把梁的跨中挠度可以当作梁的最大挠度。
　　计算梁在外荷载作用下产生的挠度时采用构件刚度B，外荷载及约束内力用短期组合值。
　　计算挠度时，作用在梁上的荷载应包括三类：第一类是左、右支座约束弯矩MSL、MSr，第二类是与本梁相交的其它梁传来的集中荷载(向上或向下)，第三类是楼板及梁上墙体等传来荷载，这类荷载遇局部范围梯形或三角形荷载可化为局部均布荷载。现在结构设计一般用计算机进行内力和配筋计算，上述第一、二类荷载可由梁的弯矩图及剪力图直接得到。有了以上条件，我们的问题就变成了求解简支梁在上述三类荷载作用下跨中挠度的问题，各种荷载作用下的简支梁挠度公式从结构静力计算手册上可得到。设第一类荷载作用下简支梁跨中挠度为fs，第二、第三类荷载作用下的简支梁跨中挠度为fo，则超静定梁的跨中挠度为f=fs ＋fo(代数和)。(见附图1)
　　对于钢筋混凝土梁来说，我们已经完成了梁的挠度计算，但对预应力混凝土梁来说，我们还需要求出预应力产生的反拱值。
　　3　预应力反拱值
　　预应力反拱是预应力在结构中产生的位移效应，用等效荷载法计算较为简单，首先根据已确定的预应力筋线形和数量计算出等效荷载，然后再求出等效荷载作用下梁支座的弯矩— 即综合弯矩Mr。在初算时，支座Mr可按Mr=M1＋M2估算，其中M1为预应力筋偏心产生的主弯矩，次弯矩M2≈0.1Ms(Ms为支座短期组合弯矩)。有了跨间的等效荷载和支座综合弯矩Mr，预应力产生的反拱值的计算就转化为简支梁的挠度计算问题，方法同前面第2部分。
　　计算预应力反拱的，应采用梁的弹性抗弯刚度EIO，考虑长期效应，应将计算结果乘以2 .0。
　　预应力梁总挠度=外荷载产生的挠度－预应力反拱值。挠度计算过程比较繁琐，重复工作较多，设计者可以编一些简单的程序或利用电子表格等来辅助计算，以提高工作效率。
　　4　算例
　　某现浇预应力混凝土框架梁，跨度L=12.5m，C40混凝土，Ⅱ级钢筋，预应力筋为18根7 Φ5低碳高强钢丝束，fptk=1570N/mm2，梁截b＊h=700＊900mm，bf＊hf=3000＊250mm，梁上作用的外荷载有均布荷载48.3kN/m、集中荷载690kN，作用点距左端5.8m。短期组合弯矩(kN .m)为1299～2243～2056(左支座～跨中～右支座)、普通钢筋面积为支座3000mm2、跨中8000 mm2。按照本文介绍的计算方法及步骤编制的电子表格计算，外荷载产生跨中挠度12.18mm，预应力反拱4.68mm，因此梁的最大长期挠度为7.50mm。
　　参考文献：
　　[1]《混凝土结构设计规范》GBJ10－89
　　[2]陶学康.后张预应力混凝土设计手册.中国建筑工业出版社，1996.11
　　[3]吕志涛、孟少平.现代预应力设计.中国建筑工业出版社，1998.12
　　[4]孟少平、吕志涛、周明华.预应力砼框架结构变形计算的探讨.建筑结构.1993年.第1 期5.
　　[5][美]A.H.尼尔逊，G温特尔著，过镇海等译.混凝土结构设计.建筑工业出版社，1993

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